[유체 내의 압력분포] 압력과 압력구배

압력은 방향을 가지는 벡터가 아니다. 압력의 차이는 힘을 만들어내지만, 압력 자체는 힘이 아니다.

 

다음 그림은 어떤 매우 작은 크기의 정지 유체에 대하여, 2차원으로 나타낸 것이다.

정지 유체는 1단원에서 설명한 바에 따라, 전단응력이 없다. 일반적인 상황에서를 보기 위해 전단응력은 없으나, 압력 px, pz, pn이 각 면에서 다를 수도 있다고 가정한다. 또한, 정지 유체라 가속도가 없으므로 x, z 방향 모두에서 각각의 힘의 합이 0이어야 한다.

 

위 그림에서 x, z 방향으로 벡터를 분해해서 나타내보면 각각 다음과 같다.

 

또한, 위 그림의 기하적 성질으로 인해 다음을 구할 수 있다.

 

이 두 가지를 대입하여 정리하면 다음과 같다.

 

매우 작은 부피(점)을 가정했기 때문에 Δz -> 0 으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

즉 정지유체 내의 한 점에서 압력 p는 방향에 관계없이 일정한 점 특성이다.

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유체 요소에 작용하는 압력 힘

위 그림은 정지 유체가 아니라 일반적인 상황에서의 단위 유체를 나타낸다. 압력 p가 x,y,z에 대한 식일 때, 각 방향의 압력 차이는 직선의 방정식 성질에 의해 위 그림과 같이 (∂p/∂x)*dx 만큼 차이가 난다. y,z도 같다.

(그래프 그림 넣기)

 

이 차이를 통해 F = PA 식을 이용하여 다음과 같이 x 방향의 압력에 의해 작용하는 힘을 구할 수 있다.

 

이는 y, z 방향에 대해서도 같은 방법으로 구할 수 있고, 각 방향의 단위 vector i, j, k 에 의해 단위 요소에 작용하는 총 순수 힘 벡터 dF_press를 다음과 같이 구할 수 있다.

 

이때, 괄호 안의 항은 수학적 정의에 의해, p의 음의 벡터구배이다. 이를 부피에 대해 적분하면 다음과 같이dx,dy,dz 값이 없어진 단위 체적당 힘 f_press를 구할 수 있다.

 

이 식이 나타내는 의미는, 압력 차이로 발생하는 힘은 압력이 큰 쪽에서 낮은 쪽으로 작용한다는 것이다.